Strukturmechanik

Die Grundlage jeder Strukturoptimierung ist eine präzise Strukturanalyse auf der Basis fundierter Strukturmechanik. Auf dem Gebiet der Strukturmechanik kann unser Team auf langjährige Erfahrungen und eine Vielzahl von Neuentwicklungen verweisen. An dieser Stelle sollen die wichtigsten Elemente einer FEM Strukturanalyse vorgestellt werden. Das sind im Einzelnen:

  • Elementformulierungen
  • Randbedingungen
  • Materialformulierungen
  • Lösungsverfahren

Elementformulierungen

Elementformulierungen modellieren das Strukturverhalten basierend auf spezifischen kinematischen Annahmen. Diese kinematischen Annahmen definieren wie aus den Strukturverformungen (Verschiebungen, Rotationen) die Dehnungen berechnet werden. In FEM Analysen werden die Steifigkeits- (linear und nichtlinear) und Massenmatrizen sowie die Elementlasten durch die Elementformulierungen berechnet. Im Allgemeinen werden die verschiedenen Elementformulierungen in 1-D, 2-D oder 3-D Elemente unterteilt.

1-D Elemente

Ist eine Dimension der Struktur sehr viel größer als die beiden anderen kann diese Struktur mit 1-D Elementen diskretisiert werden. Biespiele sind Balkenelemente (Beam) oder Stabelemente (Truss). Balkenelemente können nach der Euler-Bernoulli Theorie oder der Timoshenko Theorie formuliert werden, je nachdem ob sehr dünne oder eher gedrungene Balken gerechnet werden sollen. Der wesentliche Unterschied ist, dass Timoshenko Balken auch separate Schubverformungen erlauben, während Bernoulli Balken schubstarr sind. Daher ist die Bernoulli Theorie nur für dünne Balken gültig. Die bei Timoshenkobalken auftretenden Lockingprobleme können durch reduzierte Integration oder EAS Erweiterungen eliminiert werden. truss element

 

2-D Elemente

Zu dieser Gruppe von Elementen gehören Platten, Scheiben, Membran und Schalenelemente. Scheibenelemente sollen an dieser Stelle nicht weiter diskutiert werden, da sie in der Praxis nur eine untergeordnete Rolle spielen. Plattenelemente können als eine Vereinfachung von Schalenelementen betrachtet werden. Der wesentliche Unterschied ist, dass Platten keine Krümmungen berücksichtigen können. Membranen können als Schalenelemente ohne Biegesteifigkeit verstanden werden. Sie spielen bei der Berechnungen von textilen Materialien wie z.B. Zelten eine große Rolle. Schalenelemente sind sehr leistungsfähige und komplexe Elemente die zur Berechnung gekrümmter Flächentragwerke wie z.B. Dächern, Fahrzeugblechen, Flugzeugkomponenten usw. eingesetzt werden. Wie auch bei den Balkenelementen existieren Formulierungen für dünne und dicke Schalen. Dicke Schalen können unter Verwendung der Reissner-Mindlin Kinematik formuliert werden. Auch hierbei treten bei rein Verschiebungs-basierten Formulierungen Locking Phänomene auf, welche durch EAS (Enhanced Assumed Strain) oder ANS (Assumed Natural Strain) Techniken eliminiert werden können.

Literaturverweis:

  • M. Bischoff, F. Koschnick, K.-U. Bletzinger, Stabilized DSG elements – a new paradigm in finite element technology, in Proceedings of the 4th European LS-DYNA Users Conference, Ulm.
Shell Elements

 

3-D Elemente

Zu dieser Gruppe von Elementen gehören die bekannten Solidelemente. Diese können in Form von Tetraedern, Hexaedern oder Pentaedern formuliert werden. Da auch verschiebungsbasierte Solids unter Locking leiden, müssen entweder EAS oder ANS Erweiterungen verwendet werden. Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung von Elementen mit quadratischen Ansatzfunktionen. Hierbei spielen 10-knotige Tetraeder eine wichtige Rolle, da sie eine einfache und automatische Vernetzung von Solid-Geometrien ermöglichen und trotzdem exakte Analyseergebnisse liefern. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass Solidelemente mit quadratischen Ansätzen zu einer goßen Anzahl von Systemfreiheitsgraden und somit zu einer aufwändigeren Systemlösung führen. Solidelemente werden häufig zur Diskretisierung von voluminösen Bauteilen wie z.B. Guss oder Frästeilen verwendet. Sie spielen auch in der Topologieoptimierung eine große Rolle.

Literaturverweise:

  • M. Fischer,Geometrische und volumetrische Lockingeffekte bei kontinuumsbasierten finiten Elementen und ihre Vermeidung durch die EAS-Methode, Diplomarbeit, EADS MAS Ottobrunn, 2007.
  • H. Masching, Implementierung mehrerer Kontinuumselementformulierungen in einem objektorientierten Finite-Elemente-Programm unter Anwendung der EAS-Methode, Diplomarbeit, Lehstuhl für Statik, Technische Universität München, 2009.
Solid Elemente

 

Randbedingungen

Durch Randbedingungen werden äußere Einwirkungen auf Strukturen modelliert. Im Allgemeinen wird zwischen aufgebrachten Kräften und definierten Zwangsverschiebungen unterschieden.

Externe Kräfte

Externe Kräfte können in Form von Knotenlasten oder Elementlasten definiert werden. Die häufigste Form von Knotenlasten sind Knotenkräfte, die direkt auf die Verscheibungsfreiheitsgrade der Elemente wirken. Schalenelemente verwenden im Allgemeinen auch Rotationsfreiheitsgrade was die Definition von Momenten ermöglicht. Elementlasten auf Elemente aufgebracht, da hier die Elementformulierung die Berechnung der konsistenten Knotenlasten bestimmt. Häuifig verwendete Elementlasten sind Flächenlasten, Drucklasten und Eigengewicht.

Literaturverweis:

  • Jrusjrungkiat A.,  Wüchner R.,  Bletzinger K.-U., Aspects of nonlinear analysis for an inflatable membrane coupled with enclosed fluids, In proceeding of the Structural Membranes 2009, Stuttgart, Germany, October 7-9, 2009

 

Zwangsverschiebungen

Durch Zwangsverschiebungen können vorgegebene Verschiebungen oder Rotationen berücksichtigt werden. Ein häufig verwendeter Spezialfall ist das Festhalten einzelner Freiheitsgrade. Für diese wird dann einfach die Zwangsverschiebung mit dem Wert '0' definiert.

Materialformulierungen

Da Strukturen aus den verschiedensten Materialien bestehen können, muss deren Verhalten durch angepasste Materialgesetze berücksichtigt werden. Materialgesetze stellen prinzipiell den Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen her. Das einfachste und am häufigsten verwendete Materialgesetz ist die lineare Elastizität, welche durch das Hooksche Gesetz (für kleine Verschiebungen) oder das St.Venant-Kirchhoff Gesetz (für große Verschiebungen) ausgedrückt wird. Es existiert eine Vielzahl von weiteren, meist komplizierteren, Materialgesetzen welche in der Lage sind z.B. Plastizieren von Metallen, Kriechen von Kunststoffen oder Beton, Ausbreitung von Rissen, usw. zu beschreiben. Für die Berechnung von Kompositwerkstoffen werden häufig orthotrope Materilformulierungen verwendet, um die aus der Faserrichtung resultierende Richtungsabhängigkeit zu berücksichtigen.

Literaturverweis:

  • H. Masching, M. Fischer, M. Firl, K.-U. Bletzinger, Parameter Free Structural Optimization of Large Lightweight Composite Structures, 3rd ECCOMAS Thematic Conference on the Mechanical Response of Composites, 21st - 23rd September 2011, Hannover, Germany

 

Lösungsverfahren

Je nach Art der Strukturanalyse kommen verschiedene Lösungsverfahren zum Einsatz. Grundsätzlich kann zwischen linearen und nichtlinearen Lösungsstrategien sowie Eigenwertlösungen unterschieden werden.Treten nur kleine Verformungen auf und ist der Einfluss der Verformung auf die Steifigkeit der Struktur gering können lineare Lösungsverfahren eingesetzt werden. Diese formulieren das Strukturgleichgewicht auf der Ausgangsgeometrie und führen auf lineare Gleichungssysteme. Wenn die Annahmen der linearen Analyse nicht erfüllt sind, müssen nichtlineare Pfadverfolgungsverfahren eingesetzt werden. Diese lösen ein nichtlineares System durch iterative Verfahren und erlauben so z.B. Stabilitätsuntersuchungen. Eine weitere Klasse von Analyseverfahren sind die Eigenwertprobleme. Mit diesen Strategien können z.B. Eigenfrequenzen oder Beullasten ermittelt werden.

Literaturverweis:

  • Reiner Reitinger, Ekkehard Ramm, Kai-Uwe Bletzinger, Shape Optimization of Buckling Sensitive Structures Computing Systems in Engineering 5, 1994, pp. 65-75
  • Ekkehard Ramm, Kai-Uwe Bletzinger, Reiner Reitinger, Shape optimization of shell structures. In : Seiken - IASS Symposium on 'Nonlinear Analysis and Design of Shell and Spatial Structures', Tokyo, Japan, Oktober 1993, IASS - Bulletin 34, pp 103-121